专题20 3个二级结论速解解三角形问题
二级结论1：射影定理
在
中，
．
二级结论2：正切恒等式
若△为斜三角形，则有
二级结论3：张角定理
在中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
为
上一点（如图），且
，
，则有
．
【典例1】
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
【大招指引】利用射影定理将等式化为2bcosB＝b即可求解.
【解析】∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，
∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝
.
又0<B<π，∴B＝
.
【题后反思】本题也可以利用正弦定理进行求解：
由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.
又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.
【温馨提醒】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的；射影定理是正弦定理、余弦定理的一个重要结推论，应用射影定理快速实现边角互化，进而解决求边、角及与三角形有关的最值等问题.
【举一反三】
【典例2】在锐角三角形
中，
，则
的最小值是（ ）.
A．3 B．
C．
D．12
【大招指引】化简可得
，将化成
，即可根据 
的范围求解
【解析】∵，∴
，
∴，
∴
，
∵
，当且仅当
时取等号，
∴
.
故选：B.
【题后反思】本题也可以按以下方法进行求解：
∵，∴，
∴，
∴
，
∵，当且仅当时取等号，
∴.
故选：B.
【温馨提醒】正切恒等式常用于求角、线段长、判断三角形的形状、证明不等式以及求含有
式子的最值等题型．
【举一反三】
【典例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC
， AB
，AD=3，则CD是多少？
【大招指引】先利用同角三角函数基本关系求出cos∠BAC，再利用张角定理进行求解.
【解析】如图：
∵sin∠BAC
∴cos∠BAC
由张角定理得：
即
即
即
解得
∴
【题后反思】因为本题条件中出现
，所以联想到张角定理得到
使用张角定理得到
，这是解决本题的关键.
【温馨提醒】张角定理的本质是通过三角形面积公式构建三角方程，如本题中利用
得到．
【举一反三】
