新教材变化解读及考法剖析·专题04 平面投影向量的应用

专题04 平面投影向量的应用

[新教材的新增内容]

背景分析:在旧教材中只是讲解了投影的概念，而新教材再次基础上增加了投影向量的概念与求解公式.

1.投影向量的概念:如图(1) 设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是两个非零向量，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b}$，作如下变换：过$\overrightarrow{AB}$的起点A和终点B，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1，B_1$，得到$\overrightarrow{A_1{B}_1}$，我们称上述变换为向量$\overrightarrow{a}$向向量$\overrightarrow{b}$投影，$\overrightarrow{A_1{B}_1}$叫做向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$上的投影向量.

如图（2），在平面内任取一点O，作$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{b}$.过点M作直线ON的垂线，垂足为$M_1$，则$\overrightarrow{O{M}_1}$就是向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$上的投影向量.

2.投影向量计算公式:

当$\theta$为锐角（如图（1））时，$\overrightarrow{O{M}_1}$与$\overrightarrow{e}$方向相同，$\lambda =\left|\overrightarrow{O{M}_1}\right|=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|cos}\theta$，所以$\overrightarrow{O{M}_1}=\left|\overrightarrow{O{M}_1}\right|\overrightarrow{e}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|cos}\theta \overrightarrow{e}$；

当$\theta$为直角（如图（2））时，$\lambda =0$，所以$\overrightarrow{O{M}_1}=\overrightarrow{0}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{cos}\frac{\pi }{2}\overrightarrow{e}$；

当$\theta$为钝角（如图（3））时，$\overrightarrow{O{M}_1}$与$\overrightarrow{e}$方向相反，所以$\lambda =-\left|\overrightarrow{O{M}_1}\right|=-\left|\overrightarrow{a}\right|\cos \angle MO{M}_1=-\left|\overrightarrow{a}\right|\cos (\pi -\theta )=\left|\overrightarrow{a}\right|\cos \theta$，即$\overrightarrow{O{M}_1}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{cos}\theta \overrightarrow{e}$.

当$\theta =0$时，$\lambda =\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}$，所以$\overrightarrow{O{M}_1}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\overrightarrow{e}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{cos}0\overrightarrow{e}$；

当$\theta =\text{π}$时，$\lambda =-\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}$，所以$\overrightarrow{O{M}_1}=-\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\overrightarrow{e}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{cosπ}\overrightarrow{e}$.

综上可知，对于任意的$\theta \in [0，\text{π}]$，都有$\overrightarrow{O{M}_1}=\text{|}\overrightarrow{a}\text{|}\text{cos}\theta \overrightarrow{e}$.

[新增内容的考查分析]

1.求投影向量(由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别)

【考法示例1】

【考法示例2】

2. 已知投影向量求解向量的模、数量积等

【考法示例3】

【考法示例4】

3.已知投影向量求解参数

【考法示例5】

4.与投影向量相关的综合考查

【考法示例6】

[新增内容的针对训练]