对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实-组卷网

解答题-问答题较难0.4 引用3 组卷172

对于二次函数y＝x²﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x²﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x²+8x﹣5是二次函数y＝x²﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习

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如图，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）把（1）中所求出的抛物线记为C₁，将C₁向右平移m个单位得到抛物线C₂，C₁与C₂的在第一象限交点为M，过点M作MK

于K，MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM．
①求线段MK长度的最大值；
②当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标．

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋

（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围；
（4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D'，P'，是否存在一个k值，使四边形ABP'D'的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线

与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

的长；
(2)若点P为直线

上方抛物线上的一点，当

的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线

轴于点D，在直线

上是否存在点N，使点N到直线

的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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