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解答题-证明题 适中0.65 引用5 组卷320
观察下列等式：
①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
（1）直接写出：第⑤个等式为　 　；
（2）猜想：第n个等式为　 　（用含n的代数式表示），并证明．
2019·安徽阜阳·一模
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知识点：数字类规律探索 答案解析 【答案】很抱歉，登录后才可免费查看答案和解析！
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【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：
已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，
∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x•1＝±4x；
当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方，
∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，∴M＝4x4．
综上述，M为4x或﹣4x或4x4．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式：4x2±4x+1＝（2x+1）2；4x4+4x2+1＝（2x2+1）2
观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2＝4×4×1．
②结合多项式的因式分解又如：
16x2+24x+9＝（4x+3）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2，
发现这两个多项式的系数规律：242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4．
③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
(1)请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：　 　；
【解决问题】
(2)若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N；
(3)若关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值．
如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．

(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．
①当时，M，N两点表示的数分别为        、        ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．

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