如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物-组卷网

解答题-问答题较难0.4 引用2 组卷232

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．

2018·安徽淮北·二模

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定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝

时点A'的坐标．

如图，二次函数y=

x²+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．

如图，二次函数y＝x²－4x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求点A，点B和点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使∆PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；
(3)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，∆MNB的面积最大，试求出最大面积．

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