已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．
(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．
若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．