在和中，，，，与相交于点．(1)如图1，若，延长交于点，试判断是否成立，并说明理由；(2)如图2，若，连接．①求证：；②延长交于点，连接．若，求证：．-组卷网

解答题-证明题较难0.4 引用4 组卷147

在

和

中，

，

，

，

与

相交于点

．

(1)如图1，若

，延长

交

于点

，试判断

是否成立，并说明理由；
(2)如图2，若

，连接

．
①求证：

；
②延长

交

于点

，连接

．若

，求证：

．

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知识点：含30度角的直角三角形等腰三角形的性质和判定相似三角形的判定与性质综合已知正切值求边长答案解析【答案】很抱歉，登录后才可免费查看答案和解析！

类题推荐

（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）．

（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF²＝BE²+FC²；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝

，求OA+OB+OC的值．

如图，已知等边

边上的一个动点

的一条直线，把

的对应点是点

的长度为______；
(2)如图

时，若直线

的长度为______；
(3)如图

边上运动过程中，若直线

始终垂直于

的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
(4)当

时，在直线

变化过程中，求

面积的最大值．

阅读材料：
如图，小明为测量河流宽度，在河岸的一侧选定点B，河的对岸垂直于河岸的方向选定观测目标点A．小明沿点B所在河岸水平向右选取任意点P，继续前行至与BP距离相等处选取点C，再沿与河岸垂直方向行走至点D，使得点D、P、A在同一直线时，测量CD的长即为河流的宽度．
分析：该问题也可以理解为根据

，即P为BC的中点，过点C作

交AP于点D，从而构造了△CDP与△BAP全等，这样的思想是抓住线段的中点，再过线段的一端作平行线，利用平行构造三角形全等，从而解决线段相等问题，也称构造“X”型全等．

请运用以上模型思想解决以下问题：
等边三角形ABC中，

，点D在BC边上，过点D作

，交射线BA于点F，则
(1)如图①，若DF与AC相交于点E，当

时，AF与CD有什么数量关系？请说明理由；
(2)如图②，点G是AB边上的中点，连接CG，交DF于点E，

，求CD的长．

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