解答题-证明题 较难0.4 引用1 组卷233
如图1，有等边
和等边
，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
(1)求证：
；
(2)如图3，若
，
，且旋转角为
时，求
的度数；
(3)如图4，连接
，并延长
交
于点F，若旋转至某一位置时，恰有
，
，求
的值．
和等边，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形． (1)求证：
；(2)如图3，若
，，且旋转角为时，求的度数；(3)如图4，连接
，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．2023九年级·全国·专题练习
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，
．求
边上的中线
的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长
，使
，连接
转化到
中利用三角形三边关系即可求出中线
是
．
交
于点
，
交
．求证：
；
和
，其中
，
，
，连接
，请你探索
本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明过程如下：
(1)【知识运用】如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AB＝4，则BC＝______；
(2)【类比证明】如图（3），请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝30°；
(3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题．
如图（4），等边△ABC中，延长BA，BC，使AD＝BE，连接DC，DE．求证：DC＝DE．
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明过程如下：
已知：如图（1），△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°，求证： ． 证朋：如图（2），延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵  ， ，∴  ， ．∵AC＝AC， ∴  ．∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴  ． |
(2)【类比证明】如图（3），请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝30°；
(3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题．
如图（4），等边△ABC中，延长BA，BC，使AD＝BE，连接DC，DE．求证：DC＝DE．
中，点D、E分别在边
，连接
；
于点G．
，
，求
、
，若
，求证：
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