如图1，在平面直角坐标系中，抛物线L：的顶点D的坐标为，与x轴相交于A、两点，交y轴点C．
   
(1)求抛物线L的解析式；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m,抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象K，当m符合什么条件时，图象K的最大值与最小值的差为1？
(4)如将（1）中求得的抛物线的解析式的中的c项改为未知字母m，点是经过图1中点A、C的直线上一点，则当若抛物线L与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围．