如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接BC，P为线段BC上的一个动点不与B，C重合），过点P作轴，交抛物线于点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)连接CD，BD，CF，BF，当的面积等于的面积时（点与点不重合），求点的坐标；
(4)在（3）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．