综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．

(1)求抛物线解析式；
(2)当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；．
(3)求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．
(4)在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．