如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线折叠后得到抛物线，折痕与抛物线交于点G，H两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，当时，动点M，N在抛物线上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3)①求当抛物线与直线BC恰好只有一个公共点时m的值；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，说明理由．