小明在用描点法画抛物线C₁：y=ax²＋bx＋3时，列出了下面的表格：

x	……	0	1	2	3	4	……
y	……	3	6	7	6	3	……

(1)求抛物线C₁的解析式；
(2)将抛物线C₁先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C₂，C₂的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
(3)在第（2）问条件下，点P为抛物线C₂在第二象限内任意一点（不与点A重合）．过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ，求证：AB∥DQ；
(4)若直线y=x＋b与抛物线C₁，C₂共有两个公共点，请直接写出b的取值范围．