在△ABC中，AB<AC，点D在AC边上，AD=AB，点E在BC边上，连接ED，满足∠DEC=∠BAC，连接AE，过点A作AF⊥BC于点F．（1）如图1，-组卷网

解答题-证明题困难0.15 引用2 组卷791

在△ABC中，AB<AC，点D在AC边上，AD=AB，点E在BC边上，连接ED，满足∠DEC=∠BAC，连接AE，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）如图1，已知∠BAC=90°，∠C=30°，且AF=2

，求线段DC的长；
（2）如图2，已知∠B+∠C=

∠BAC，求证：BE+ED= 2

AF；
（3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC内有点P，连接AP、BP，满足∠APB=120°，过点P作PM⊥AC交于点M，过点P作PN⊥BC交于点N，连接MN，直接写出MN的最小值．

20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末

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知识点：斜边的中线等于斜边的一半圆周角定理求特殊三角形外接圆的半径解直角三角形的相关计算答案解析【答案】很抱歉，登录后才可免费查看答案和解析！

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以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．

(1)在图①、②中，取

的中点O，根据　　得

，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在

于点E，连接

，得出矛盾；同理点C也不会落在

内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．

(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形

相交于点H，射线

于点F．
求证：

的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）

(4)如图⑦，点P是

外部一点，过P作直线

的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在

的外接圆上．

在△ABC中，AB<AC，点D在AC边上，AD=AB，点E在BC边上，连接ED，满足∠DEC=∠BAC，连接AE，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）如图1，已知∠BAC=90°，∠C=30°，且AF=2

，求线段DC的长；
（2）如图2，已知∠B+∠C=

∠BAC，求证：BE+ED= 2

AF；
（3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC内有点P，连接AP、BP，满足∠APB=120°，过点P作PM⊥AC交于点M，过点P作PN⊥BC交于点N，连接MN，直接写出MN的最小值．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．
（Ⅰ）①直接写出t的取值范围：　　；
②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ∽△ABQ；
（Ⅱ）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．

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