打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物 A、B 和C 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C 与滑轮等高（图中实线位置）时，C 到两定滑轮的距离均为 L。重物 A 和 B 的质量均为 m，系统可以在如图虚线位置保持静止， 此时连接 C 的绳与水平方向的夹角为 60°。某次打桩时，用外力将 C 拉到图中实线位置，然后由静止释放。设 C 的下落速度为时，与正下方质量为 2m 的静止桩 D 正碰，碰撞后 C 的速度为零，D 竖直向下运动 距离后静止（不考虑 C、D 再次相碰）。A、B、C、D 均可视为质点。
（1）求 C 的质量；
（2）若 D 在运动过程中受到的阻力 F 可视为恒力，求 F 的大小；
（3）撤掉桩 D，将 C 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求运动到图示虚线位置时，绳的拉力对 C 做的功。