已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最小值；
（Ⅲ）探究：函数的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.