如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁＝2，M为A₁B₁的中点．

(1)求证：MC⊥AB;

(2)在棱CC₁上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

(3)若点P为CC₁的中点，求二面角B－AP－C的余弦值．