已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若且，则有成立，则称为“友谊函数”.（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求的值；（Ⅱ）函数在区间上是否为-组卷网

解答题-证明题适中0.64 引用4 组卷474

已知定义域为

的函数

同时满足以下三个条件：
①对任意的

，总有

；②

；③若

且

，则有

成立，则称

为“友谊函数”.
（Ⅰ）若已知

为“友谊函数”，求

的值；
（Ⅱ）函数

在区间

上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知

为“友谊函数”，且

，求证:

.

2010·辽宁·一模

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知识点：函数的定义答案解析【答案】很抱歉，登录后才可免费查看答案和解析！

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已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）＝1；
③当x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＋x₂∈[0，1]时，f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)成立．称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
（1）已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）＝2^x－1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；
（3）已知f（x）为“友谊函数”，假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]，且f[f(x₀)]＝x₀，求证： f(x₀)＝x₀．

设定义域为

同时满足以下三个条件时称

为“友谊函数”：①对任意的

成立．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）若

为“友谊函数”，求

；
（2）证明函数

上是“友谊函数”；
（3）若

为“友谊函数”，且

设定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时称f(x)为“友谊函数”：
(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
(2)f(1)＝1；
(3)若x₁≥0，x₂≥0且x₁＋x₂≤1，则有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)成立．
则下列判断正确的序号为________．
①f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；
②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；
③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x₁<x₂≤1，则f(x₁)≤f(x₂).

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