所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

(1)求新多面体的体积.
(2)求二面角的余弦值.
(3)求证新多面体为七面体.