如图，圆锥底面半径为1，高为2.

(1)求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；
(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；
(3)若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.