对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为-组卷网

解答题-证明题较难0.4 引用2 组卷309

对于正整数集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一元素a_i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中，a₁＜a₂＜a₃＜a₄不可能是“平衡集”．

20-21高二上·北京顺义·期中

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对于项数为m的数列{a_n}，若满足：1≤a₁＜a₂＜⋯＜a_m，且对任意1≤i≤j≤m，a_ia_j与

中至少有一个是{a_n}中的项，则称{a_n}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，求证：a₁＝1，a₄＝a₂a₃；
(3)如果数列{a_n}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{a_n}是否为等比数列？并说明理由．

若对于数列{a_n}中的任意两项a_i，a_j（i＞j），在{a_n}中都存在一项a_m，使得a_m＝

，则称数列{a_n}为“X数列”，若对于数列{a_n}中的任意一项a_n（n≥3），在{a_n}中都存在两项a_k，a_l（k＞l），使得a_n＝

，则称数列{a_n}为“Y数列”．
（1）若数列{a_n}为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{a_n}是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ﹣1（n∈N*），求证：数列{a_n}为“Y数列”；
（3）若数列{a_n}为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a₁，a₂，a₃，a₄成等比数列．

给定数列{c_n}，如果存在常数p、q使得c_n+1＝pc_n+q对任意n∈N^*都成立，则称{c_n}为“M类数列”．
（1）若{a_n}是公差为d的等差数列，判断{a_n}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{a_n}是“M类数列”且满足：a₁＝2，a_n+a_n+1＝3•2ⁿ．
①求a₂、a₃的值及{a_n}的通项公式；
②设数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b_n+a₂b_n﹣1+a₃b_n﹣2+…+a_nb₁＝3•2ⁿ⁺¹﹣4n﹣6，且集合M＝{n|

≥λ，n∈N^*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．

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